2018年11月

指数与指数函数

概念:$a^n$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次,$a$ 叫做幂的底数,$n$ 叫做幂的指数

1. 整数指数

$$ a^1 = a \; ; $$

$$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \; ; $$

$$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \; ; $$

$$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \; ; $$

$$ (ab)^n = a^n \cdot b^n \;; $$

$$ a^0 = 1 \enspace (a \neq 0) \;; $$

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \enspace (a \neq 0, n \in N_+) \;; $$

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函数零点的定义

一般的,如果函数 $y = f(x)$ 在实数 $a$ 处的值为零,即 $$ f(a) = 0, $$ 则 $a$ 叫做这个函数的零点。

如果把函数作出一条曲线,那么曲线与 $x$ 轴的交点就是这个函数的零点。

高次函数的零点

一次和二次函数的零点都比较好计算,就是简单的一元一次方程式和一元二次方程式的求解。

对于一元三次四次方程,虽然复杂点,但也能找到相应的求根公式。

对于高于四次的就比较麻烦了(不存在求根公式)。

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区间的表示

  • 开区间 $ a < x < b $ 全体实数的集合: $ (a, b) $
  • 闭区间 $ a \le x \le b $ 全体实数的集合: $ [ a, b ] $
  • 半开半闭区间 $ a \le x \lt b $ or $ a \lt x \le b $ 全体实数的集合: $ [a, b) $ or $ (a, b] $
  • $ x > a $ 记作 $ (a, +\infty) $
  • $ x \ge a $ 记作 $ [a, +\infty) $
  • $ x < a $ 记作 $ (-\infty, a) $
  • $ x \le a $ 记作 $ (-\infty, a] $
  • 实数 $R$ 记作 $(-\infty, +\infty) $

上面 $a, b$ 叫做区间的端点

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集合的定义

一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。

集合的元素是确定的,相互之间是互异的, 是没有顺序的。

含有限个元素的集合叫作有限集,含有无限个元素的集合叫作无限集

集合的标识

集合通常用 $ A、B、C $ ... 来表示,它的元素通常用 $ a、b、c $ ... 来表示。

如果 $ a $ 是集合 $ A $ 的元素,就说 $ a $ 属于 $ A $,记作 $$ a \in A $$

如果 $ a $ 不是集合 $ A $ 的元素,就说 $ a $ 不属于 $ A $, 记作 $$ a \notin A $$

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空白

所有的空白(空格、制表符)都无意义.

空白无效

\,, \quad, \qquad 用于生成空白

特殊字符

#, $, %, ^, &, _, {, }, ~, \

这些字符有特殊的作用,要直接显示他们就需要在他们前面加上 \ 来转义。

注意:\ 不能直接在前面加 \, 因为 \\ 是一个用来断行的命令。
\backslash 是用来生成 \ 的命令。

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